Division par 19 - Corrigé

Énoncé

1. Vérifier que \(7^3 \equiv 1 \ [19]\) .

2. Quel est le reste de la division euclidienne de \(11 \times 7^{42}-8\) par \(19\) ?

Solution

1. On a \(7^3=343=19 \times 18+1\) avec \(0 \leqslant 1<19\) donc \(7^3 \equiv 1 \ [19]\) .

2. Comme \(7^3 \equiv 1 \ [19]\) , on a \((7^3)^{14} \equiv 1^{14} \ [19]\) , c'est-à-dire \(7^{42} \equiv 1 \ [19]\) .
On a donc : \(11 \times 7^{42}-8 \equiv 11 \times 1-8 \equiv 3 \ [19]\) .
Ainsi, le reste de la division euclidienne de \(11 \times 7^{42}-8\) par \(19\)  est \(3\) .